Teori Kombinatorial
merupakan salah satu pokok bahasan Matematika Diskrit yang telah banyak
dikembangkan dan diaplikasikan dalam berbagai bidang. Dalam perkembangan
Matematika, dapat dilihat bahwa kajian kombinatorial sangat menarik bagi
sebagian orang. Salah satu contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan
kombinatorial adalah menghitung banyaknya kombinasi angka nomor polisi mobil,
di mana nomor polisi terdiri atas lima angka dan diikuti dua huruf, serta angka
pertama bukan nol. Cara paling sederhana untuk menyelesaikan persolan sejenis
adalah dengan mengenumerasi semua kemungkinan jawabannya. Mengenumerasi berarti
mencacah atau menghitung satu per satu setiap kemungkinan jawaban. Akan tetapi
enumerasi masih mungkin dilakukan jika jumlah objek sedikit, sedangkan untuk
persoalan di atas, cara enumerasi jelas tidak efisien. Misalnya untuk menjawab
persoalan di atas, apabila kita melakukan enumerasi, maka kemungkinan
jawabannya adalah sebagai berikut:
12345AB
12345AC
12345BC
…
34567MT
34567ML
…
dan seterusnya…
Sangatlah
mungkin bahwa kita sudah lelah sebelum proses enumerasi selesai dilakukan. Di
sinilah peran kombinatorial, yang merupakan “seni berhitung”, menyelesaikan
persoalan semacam ini dengan cepat. Demikian juga dalam permainan Poker.
Peluang seorang pemain untuk mendapatkan kombinasi lima kartu yang ada dapat
dihitung dengan cepat dengan menggunakan kombinatorial. Pada dasarnya, Poker
adalah permainan berdasarkan keberuntungan. Oleh karena itu, pemain yang
mendapat kartu yang paling sulit didapatkan (artinya, memiliki peluang
kemunculan sangat kecil) adalah pemenangnya. Dengan demikian, urutan bagus atau
tidaknya suatu kartu dapat dihitung secara matematis dengan menggunakan
kombinatorial dan teori peluang.
Teori Kombinatorial
Kombinatorial adalah
cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus
mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. Kaidah Dasar Menghitung
1. Kaidah Perkalian (rule of product) Misalkan percobaan 1
mempunyai p hasil percobaan, dan percobaan 2 mempunyai q hasil, maka bila
percobaan 1 dan percobaan 2 dilakukan akan terdapat p × q hasil percobaan. 2.
Kaidah Penjumlahan (rule of sum) Misalkan percobaan 1 mempunyai p hasil
percobaan, dan percobaan 2 mempunyai q hasil, maka bila percobaan 1 atau
percobaan 2 dilakukan (hanya salah satu percobaan saja yang dilakukan) akan
terdapat p + q hasil percobaan.
Percobaan binomial merupakan suatu percobaan yang memenuhi empat
syarat berikut:
1.
Terdapat n kali percobaan.
2.
Masing-masing
percobaan hanya dapat menghasilkan dua kemungkinan, atau hasil yang diperoleh
dapat disederhanakan menjadi dua kemungkinan. Hasil yang diperoleh tersebut
dapat dianggap sebagai hasil yang sukses atau gagal.
3.
Hasil dari
masing-masing percobaan haruslah saling bebas.
4.
Peluang untuk sukses
harus sama untuk setiap percobaan.
Suatu percobaan binomial dan hasilnya
memberikan distribusi peluang khusus yang disebut sebagai distribusi binomial.
Hasil-hasil percobaan binomial dan peluang
yang bersesuaian dari hasil tersebut dinamakan distribusi
binomial.
Dalam percobaan binomial, hasil-hasilnya seringkali
diklasifikasikan sebagai hasil yang sukses atau gagal. Sebagai contoh, jawaban
benar suatu pertanyaan pilihan ganda dapat diklasifikasikan sebagai hasil yang
sukses, sehingga pilihan jawaban lainnya merupakan jawaban yang salah dan
diklasifikasikan sebagai hasil yang gagal. Notasi-notasi yang umumnya digunakan
dalam percobaan binomial dan distribusi binomial adalah sebagai berikut.
|
Notasi
|
Keterangan
|
|
P(S)
|
Simbol untuk peluang
sukses.
|
|
P(F)
|
Simbol untuk peluang
gagal.
|
|
p
|
Peluang sukes.
|
|
Q
|
Peluang gagal.
|
|
|
P(S) = p dan P(F) = 1 – p = q
|
|
N
|
Banyaknya percobaan
|
|
X
|
Banyaknya sukses
dalam n kali percobaan
|
|
Perhatikan bahwa 0
≤ X ≤ n dan X = 0, 1, 2, 3, …, n.
|
|
Peluang sukses dalam
percobaan binomial dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut.
Rumus Peluang Binomial
Dalam suatu percobaan binomial, peluang untuk mendapatkan
tepat X sukses dalam npercobaan adalah
Contoh 1: Melempar Koin
Suatu koin dilempar sebanyak tiga kali. Tentukan peluang
mendapatkan tepat dua angka.
Pembahasan Permasalahan
ini dapat diselesaikan dengan melihat ruang sampelnya. Ruang sampel dari
pelemparan satu koin sebanyak tiga kali adalah
S =
{AAA, AAG, AGA, GAA, GGA, GAG, AGG, GGG}
Dari ruang sampel, kita dapat melihat bahwa ada tiga cara untuk
mendapatkan tepat dua angka, yaitu AAG, AGA, dan GAA. Sehingga peluang kita
mendapatkan tepat dua angka adalah 3/8 atau 0,375.
Dengan melihat kembali Contoh 1 dari sudut pandang percobaan
binomial, maka contoh tersebut memenuhi keempat kriteria percobaan binomial.
1. Terdapat
tiga kali percobaan.
2. Setiap
percobaan hanya memiliki dua kemungkinan, yaitu angka (A) atau gambar (G).
3. Hasil
dari masing-masing percobaan saling bebas (hasil dari suatu pelemparan tidak
mempengaruhi hasil pelemparan lainnya).
4. Peluang
percobaan sukses (angka) adalah ½ di setiap percobaannya.
Dalam kasus ini, n = 3, X = 2, p = ½, dan q = ½. Sehingga
dengan mensubstitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus, kita mendapatkan
Jawaban tersebut sama dengan jawaban kita sebelumnya yang
menggunakan ruang sampel.
Contoh 1 tersebut juga
dapat digunakan untuk menjelaskan rumus peluang binomial. Pertama, perhatikan
bahwa terdapat tiga cara untuk mendapatkan tepat dua angka dan satu gambar dari
delapan kemungkinan. Ketiga cara tersebut adalah AAG, AGA, dan GAA. Sehingga,
dalam kasus ini banyaknya cara kita mendapatkan dua angka dari pelemparan koin
sebanyak tiga kali adalah 3C2, atau
3. Secara umum, banyak cara untuk mendapatkan X sukses
dari n percobaan tanpa memperhitungkan urutannya adalah
Ini merupakan bagian pertama rumus binomial. (Beberapa
kalkulator dapat digunakan untuk menghitung kombinasi tersebut).
Selanjutnya, masing-masing sukses memiliki peluang ½ dan muncul
sebanyak dua kali. Demikian juga masing-masing gagal memiliki peluang ½ dan
muncul sekali. Sehingga akan memberikan,
pada rumus binomial.
Sehingga apabila masing-masing percobaan sukses sukses memiliki peluang p dan muncul X kali serta
peluang gagalnya adalah q dan
muncul n – X kali, maka
dengan menuliskan peluang percobaan sukses kita akan mendapatkan rumus
binomial.
